「半分」について



〔これは雑な記事です〕

先日映画を観に行ったら、『響』という映画の予告で「天才とはわずかにわれわれと一歩を隔てたもののことである。」という文句が使われていた。
これは芥川龍之介侏儒の言葉』の一節で、「ただこの一歩を理解するためには百里の半ばを九十九里とする超数学を知らなければならぬ。」と続く*1
続きを書かずにそこだけ抜くのはどうなんだという気持ちはないでもなかったが、それはまあよくて、「百里の半ばを九十九里とする超数学」について考えていたら、「半分」という概念がわからなくなった。

「半分の点はどんな距離空間にも存在するの?」「『半分の点があること』と『空間を半分に分けることができる』は同じなの?」「中線定理はノルム空間が内積空間になる条件って聞いたけど……」等々。
それについてのメモ書き。

ポロノイ図

図のイメージはあったのだけれど、その言葉がしばらく思い出せなかった。ポロノイ図という名前であった。

距離空間内の有限部分集合 P = \{p_1, p_2, \dots, p_n\} および、距離関数d に対して

 V(p_i) = \{p\ |\ d(p, p_i) \le d(p, p_j),\  j\ne i\}

で構成される領域V(p_i) p_i のボロノイ領域と呼ぶ。また、 \{V(p_1), V(p_2), \dots, V(p_n)\}ボロノイ図と呼ぶ。

こうやってポロノイ領域を定義してやると、(全順序なので)任意の点がどこか少なくとも1つのポロノイ領域にはいる。
こういう意味で、任意の距離空間を「半分に分ける」ことはできる。

2次元ユークリッド空間で2点なら、それは垂直2等分線で分けられた領域になる。

なお、これは「等面積で半分に分ける」こととは無関係。「面積」や「体積」の概念は距離ではなく測度の上にあるものなので。
(じゃあ「等面積で半分」が必ず定義できるかといえば、例えば2点集合にそれぞれ測度1と6を与えてやると反例になる)
ユークリッド空間上で距離と面積に関係があるのは、ルベーグ測度を直方体をもとに決めたから)

まんなかの点

百里の半ばを九十九里とする」の「半ば」はつまり、両端点から等距離にある点を指している。
これはポロノイ図でいうと、複数のポロノイ領域に含まれる点に当たる(別に1つとは限らない。中点というより二等分線か。平面幾何にあわせて最小距離になるものを中点というとよさそう)。

これは必ずしも存在しない。例えば数直線上に 0,1,2,3 だけがある4点の空間に普通の距離を入れてやると、0と2との間にはまんなかの点1があるが、0と3との間には存在しない。

中線定理

内積空間の議論で出てくるベクトルの中線定理には、「中点」の概念がそもそもいらなそう。

この図では2つのベクトルの矢印が「中点」で交わっているけれど、これは単にユークリッド空間でこう描いたからたまたま起きているだけなのでは…?
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*1:というと嘘になる。というのもこの文句はもう一度繰り返されていて、そちらでは「同時代は常にこの一歩の千里であることを理解しない。後代はまたこの千里の一歩であることに盲目である。同時代はそのために天才を殺した。後代はまたそのために天才の前に香を焚いている」と続く。